Теоретическая часть:
Геометрические построения в круговой модели Пуанкаре плоскости Лобачевского
Дипломный проект Рассмехина Сергея


novsu.ac.ru


Начало Теория Вперед Назад

Математическая реализация настоящего дипломного проекта базируется на теоретических фактах неевклидовой (гиперболической) геометрии, связанных с одной из интерпретаций плоскости Лобачевского, предложенной французским математиком Жюль-Анри Пуанкаре (круговая модель Пуанкаре). Рассмотрим основные положения этой теории.

Существуют различные способы построения круговой модели Пуанкаре. Опишем два наиболее известных подхода, используемых в рамках данной работы.

  1. Аксиоматический подход к построению круговой модели Пуанкаре плоскости Лобачевского.

    Аксиоматика геометрии Лобачевского строится на основе аксиоматики евклидовой геометрии с заменой аксиомы параллельности на аксиому Лобачевского: пусть a - произвольная прямая, а A - точка, не лежащая на этой прямой; тогда существует не менее двух прямых, проходящих через точку A и не пересекающих прямую a. Таким образом основная задача в построении круговой модели Пуанкаре плоскости Лобачевского сводится к такому выбору множества B2 (плоскости), основных объектов (точек и прямых), основных отношений (принадлежность точки и прямой, "лежать между" для трех точек одной прямой, длина отрезка, градусная мера угла) и движений, то есть преобразований не изменяющих расстояний между точками, чтобы они удовлетворяли аксиоматике геометрии Лобачевского (аксиоматика евклидовой геометрии см. [4] ).

    • Выбор плоскости.
      Неевклидовой плоскостью назовем открытый круг единичного радиуса B2 евклидовой плоскости с центром в начале координат.

      Рис. № 1. Неевклидовы прямые в круговой модели Пуанкаре.
    • Выбор основных объектов.
      Неевклидовыми прямыми в B2 будем считать диаметры B2 и лежащие в B2 дуги евклидовых окружностей, ортогональных границе B2.

    • Выбор основных отношений.
      • Отношение принадлежности.
        Пусть A - неевклидова точка и a - неевклидова прямая в B2. Мы полагаем, что точка A находится на неевклидовой прямой a, если эта точка находится на a в смысле тех отношений, какие имеют место в геометрии евклидовой плоскости.
      • Отношение порядка.
        Пусть a - неевклидова прямая в B2, A,B,C - точки на a. Если прямая a изображается диаметром B2, то порядок точек на a будем понимать в евклидовом смысле. Пусть теперь a - дуга окружности, обозначим через l произвольную евклидову прямую в евклидовой плоскости, заданную уравнением y=c. Евклидовы лучи, исходящие из центра евклидовой окружности, на которой лежит дуга, изображающая неевклидову прямую a и проходящие через точки A,B,C, пересекают l в точках A',B',C'. Говорят, что точка B лежит между точками A и C на a, если B' лежит между A' и C' на l в смысле евклидовой геометрии.
      • Длина отрезка.
        Если u, v - две точки в B2, то через s и t обозначим точки, в которых неевклидова прямая uv опирается на границу круга B2 (сами точки s и t не принадлежат B2). Тогда длину отрезка uv можно определить посредством следующей формулы:

        где c - некоторая положительная константа, фиксация которой равносильна выбору единичного отрезка PQ в B2, а (u,v,s,t) - сложное отношение четырех точек: u, v, s, t, они заданы соответствующими комплексными числами:

      • Градусная мера угла.
        Под градусной мерой f(pq) неевклидова угла pq будем понимать евклидову градусную меру угла между касательными векторами к сторонам угла pq в его вершине.

    • Выбор движений.
      Опр. Пусть на евклидовой плоскости дана окружность S с центром в некоторой точке A и радиусом R. Инверсией плоскости относительно окружности S называется такое отображение, при котором произвольная точка M, отличная от A, отображается в точку M' такую, что:

      1. M' лежит на луче AM;
      2. AM*AM'=R2.

      Точку M' мы будем называть в этом случае инверсной точке M.

      Рис. № 2. Построение точки С, инверсной С' относительно (A,AB). Свойства инверсии:

      1. Если точка M' является инверсной точке M относительно окружности S, то и точка M является инверсной точке M', то есть точки M и M' - взаимноинверсны относительно окружности S.
      2. Преобразование инверсии переводит прямые и окружность вновь в прямые и окружности (при этом во избежание недоразумений нужно дополнить евклидову плоскость бесконечноудаленной точкой). В развернутом виде это утверждение означает, что инверсия переводит:
        1. всякую окружность, не проходящую через центр инверсии, - в окружность, не проходящую через центр инверсии;
        2. всякую окружность, проходящую через центр инверсии, - в прямую;
        3. всякую прямую, не проходящую через центр, - в окружность, проходящую через центр;
        4. всякую прямую, проходящую через центр, - саму в себя.
        При этом в случаях b, c, d нужно иметь в виду то условие, что центр переходит в бесконечноудаленную точку.
      3. Преобразование инверсии является конформным, т.е. при инверсии сохраняются углы между кривыми. Это значит, что две кривые, пересекающиеся под некоторым углом, при инверсии переходят в некоторые кривые, пересекающиеся под тем же углом.
      4. Если некоторая окружность S проходит через две точки M и M' взаимноинверсные относительно другой окружности S', то окружности S и S' взаимноортогональны.

      В качестве неевклидовых движений B2 положим евклидовы симметрии B2 относительно диаметров B2, инверсии B2 относительно окружностей, ортогональных границе B2 и композиции некоторого числа тех и других преобразований. Таким образом, определенное движение будет сохранять углы между неевклидовыми прямыми (и кривыми) и неевклидовы расстояния между точками. Две фигуры в B2 назовем равными, если одна из них переводится в другую с помощью некоторого неевклидова движения.
      Все указанные объекты и отношения удовлетворяют аксиоматике геометрии Лобачевского.

  2. Подход к построению круговой модели Пуанкаре плоскости Лобачевского, основанный на ее связи с моделью Пуанкаре на евклидовой полуплоскости.

    Этот способ построения круговой модели Пуанкаре основан на связи двух моделей, которую можно установить с помощью некоторой инверсии.
    Примем точку с координатами (0,-1) за центр единичного круга B2 и обозначим через S окружность с центром в точке (0,-2) и радиусом, равным двум (см. рис. № 3). Обозначив через f инверсию относительно окружности S, получаем:

    где H2 - неевклидова плоскость в модели Пуанкаре на евклидовой полуплоскости.
    Рис. № 3. Связь круговой модели Пуанкаре и на евклидовой полуплоскости.
    Эта инверсия переводит неевклидовы прямые из H2 в неевклидовы прямые в B2 и сохраняет углы между кривыми.
    Причем, при таком преобразовании инверсии неевклидовы прямые из плоскостной модели Пуанкаре, изображаемые вертикальными лучами переходят в дуги окружностей, ортогональных границе круга B2 и опирающиеся на точку (0,-2) - центр инверсии; изображаемые полуокружностями, проходящими через точку (0,2) переходят в диаметры круга B2; изображаемые произвольными евклидовыми окружностями переходят в произвольные дуги, ортогональные границе круга B2. При инверсии ось OX переходит в границу круга B2, а ось OY переходит сама в себя.
    Неевклидово расстояние между двумя точками u и v при таком построении круговой модели Пуанкаре определим по формуле:

    l(uv)=р(f(u),f(v)),

    где (р - расстояние между точками f(u), f(v) в H2. Но в следствии того, что инверсия сохраняет сложное отношение четырех точек и, следовательно, неевклидово расстояние между двумя данными точками, то эта формула также будет иметь вид (1).
    Целиком аксиоматическое построение модели Пуанкаре на евклидовой полуплоскости плоскости Лобачевского приведено в [14]. Используя эти результаты и свойства преобразования инверсии получим, что аксиоматика геометрии Лобачевского выполняется и в круговой модели Пуанкаре.

  3. Построение геометрических образов в круговой модели Пуанкаре.

    Рассмотрим построение нескольких геометрических объектов: прямой, окружности, эквидистанты и орицикла.

    1. Прямая.

    2. Окружность.
      Опр. Неевклидовой окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости Лобачевского, равноудаленных от данной точки (центра неевклидовой окружности). Понятно, что "равноудаленность" в данном случае понимается в смысле неевклидовой длины.
      Алгоритм построения неевклидовой окружности по данному центру и точке, лежащей на окружности и его объяснение полностью переносится из плоскостной модели Пуанкаре в круговую (см. [14]), с тем отличием, что евклидова симметрия относительно оси OX в данном случае заменяется на инверсию относительно границы круга B2.

    3. Эквидистанта.
      Опр. Эквидистантой называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости Лобачевского, равноудаленных от данной прямой a. Другое определение - эквидистанта - это ортогональная траектория пучка расходящихся прямых с осью a. Прямая a называется базой эквидистанты, а перпендикуляр, проведенный из любой точки эквидистанты на базу, - высотой эквидистанты.

    4. Орицикл.
      Опр. Орициклом называется ортогональная траектория некоторого пучка параллельных прямых.

    Отметим, что построение геометрических образов в плоскостной модели Пуанкаре зачастую намного проще построений соответствующих образов в круговой модели Пуанкаре (термин "проще" в данном случае следует понимать в том смысле, что в плоскостной модели образы строятся за меньшее количество итераций). Отсюда следует один из вспомогательных способов построения геометрических образов в круговой модели Пуанкаре:

    1. Минимальное количество точек, определяющее данный объект, переводится с помощью инверсии f из круговой модели в плоскостную (например, две точки, определяющие концы некоторого отрезка, к которому требуется провести серединный перпендикуляр).
    2. В плоскостной модели проводятся необходимые построения (см. [14]).
    3. Минимальное количество точек, определяющих построенные объекты переводятся обратно в круговую модель (например, две точки определяющих неевклидову прямую (построенный серединный перпендикуляр)).
    4. По этим точкам строится искомый объект.

    Именно по такому алгоритму в разработанной программе и строится неевклидов серединный перпендикуляр к неевклидову отрезку.

Начало Теория Вперед Назад