Модель Пуанкаре на полуплоскости Движения |
Определение движенийДальнейшие построения требуют введения преобразований, выполняющих роль движений плоскости H2, то есть преобразований, не изменяющих расстояний между точками, измеряемых с помощью формулы (*). Оказывается, что движениями плоскости H2 в указанном смысле являются инверсии относительно полуокружностей, принятых в качестве прямых в H2, евклидовы симметрии относительно евклидовых лучей, ортогональных границе H2, а также композиции некоторого числа тех и других преобразований. Более того, в дальнейшем будет доказано, что указанными преобразованиями исчерпываются все движения плоскости H2. Следующая демонстрация иллюстрирует указанные выше движения. Отметим некоторые понятия и факты теории указанных преобразований. Пусть на евклидовой плоскости дана окружность S с центром
в некоторой точке A и радиусом r (см. рисунок ниже).
Инверсией плоскости относительно окружности S называется
такое отображение, при котором произвольная точка M,
отличная от A, отображается в точку M' такую, что: Точку M' мы будем называть в этом случае инверсной точке M. Очевидно, что точка M является инверсной для точки M', то есть точки M и M' – взаимно инверсны относительно окружности S (построение показано на рисунке). ![]() Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат и сопоставим
каждой точке M плоскости комплексное число Для взаимно инверсных точек M и M', определенных числами z и z', выполняется в случае совпадения центра окружности S с началом координат следующее соотношение: ![]() Отсюда получаем аналитическое задание инверсии: ![]() или покоординатно: ![]() Используя последние соотношения, легко показать, что под действием инверсии прямые и окружности переводятся вновь в прямые и окружности. При этом во избежание недоразумений нужно дополнить евклидову плоскость бесконечно удаленной точкой. Пусть теперь центр координатной системы не совпадает с центром A окружности S и точке A соответствует комплексное число a. Комбинируя формулу для инверсии с соотношением z = z' + a, соответствующим преобразованию координатной системы - переносу центра системы в точку A, получаем для аналитического задания инверсии относительно окружности A равенство ![]() Поскольку мы будем рассматривать случай, когда центр окружности S лежит на оси x, комплексное число a имеет нулевую мнимую часть, поэтому аналитическое задание инверсии относительно такой окружности можно записать в виде
Как уже отмечалось, наряду с инверсиями мы будем использовать евклидовы симметрии H2 относительно евклидовых лучей, ортогональных оси x и имеющих начало в точках этой оси. Если d - такой луч и его начало имеет координаты (x0, 0), то евклидова симметрия относительно d допускает задание в комплексной форме формулой
Действительно, мнимые части чисел z и z' одинаковы, а евклидова середина евклидова отрезка zz' принадлежит, как легко видеть, лучу d, а это и означает, что последнее равенство (***) задает указанную симметрию H2 относительно луча d. Описанные выше инверсии H2 относительно полуокружностей с центрами на оси d и симметрии относительно указанных лучей будем называть далее отражениями плоскости H2. Заметим, что всякое отражение переводит точки из H2 в точки, вновь лежащие в H2, причем образом плоскости H2 является вся эта плоскость. Движением плоскости H2 называется всякое преобразование H2, не изменяющее расстояний между точками, измеряемых посредством формулы (*). Справедлива следующая Доказательство. Обозначим композицию некоторого числа отражений плоскости H2 через g. Так как каждое отражение, с помощью которого задано g, является конформным преобразованием H2, переводящим неевклидовы прямые вновь в неевклидовы прямые, то такими же свойствами будет обладать и g. Для доказательства того факта, что g - движение H2, достаточно установить, учитывая способ вычисления расстояния в H2 посредством формулы (*), что каждое отражение H2 сохраняет сложное отношение четырех точек. Пусть f - отражение H2, заданное равенством (**), а точки u, v, s, t переходят под действием f в точки u', v', s', t', причем все точки в каждой четверке - обыкновенные. Тогда с помощью равенства (**) получаем, что ![]() поэтому ![]() Предположим теперь, что точки u, v, s, t
- обыкновенные, а одна из точек u', v', s', t',
например, t' - бесконечно удаленная.
Так как ![]() Случаи, когда в рассматриваемых четверках есть другие бесконечно
удаленные точки, рассматриваются аналогично и дают такой же результат,
а именно: Тем самым, отражения H2 и их композиции являются движениями плоскости H2. Теорема доказана. |