Оглавление

Модель Пуанкаре на полуплоскости

Основные объекты

Аксиомы принадлежности

Аксиомы порядка

Сложное отношение

Аксиомы меры

Движения

Равенство фигур

Серединный перпендикуляр

Аксиома IV группы

Аксиома V группы

Аксиома Лобачевского

Многообразие моделей

Модель в пространстве

Замечание

Упражнения


Выполнимость требований аксиомы существования треугольника, равного данному

Назад Вперед

    Пусть ABC – неевклидов треугольник в H2, p – луч с началом в A' и – заданная полуплоскость, ограниченная неевклидовой прямой, содержащей p (см. рисунок).

    Построим серединный неевклидов перпендикуляр a неевклидова отрезка AA'. Отражение относительно a переводит треугольник ABC в треугольник A'B1C1. Пусть b – неевклидова биссектриса угла со сторонами p и A'B1, тогда отражение H2 относительно b переведет треугольник A'B1C1 в треугольник A'B'C2, где B' лежит на луче p. Если точка C2 лежит в заданной полуплоскости , то построение закончено. В противном случае рассмотрим отражение H2 относительно неевклидовой прямой, содержащей луч p. В результате получаем треугольник A'B'C', удовлетворяющий требованиям аксиомы IV. Действительно, A' – начало луча p, B' лежит на p, а C' принадлежит полуплоскости . Поскольку неевклидов треугольник A'B'C' получен из треугольника ABC с помощью композиции отражений, то есть с помощью неевклидова движения, то треугольники ABC и A'B'C' равны. Таким образом, требования аксиомы IV в H2 выполнены.

Назад Вперед