Модели Бельтрами и Кэли-Клейна Пучки прямых на орисферическом круге |
Изображение пучков неевклидовых прямых на орисферическом кругеКак известно, пучки прямых плоскости Лобачевского подразделяются на три типа: центральный пучок - совокупность всех прямых плоскости, проходящих через одну и ту же точку; пучок параллельных прямых - совокупность всех прямых плоскости, параллельных данной прямой в заданном на ней направлении; пучок расходящихся прямых - совокупность всех прямых плоскости, перпендикулярных заданной прямой, называемой осью пучка. Ясно, что центральный пучок прямых плоскости L2 проектируется на w прямыми связки Z в пучок дуг орициклов, проходящих через одну и ту же точку, лежащую внутри круга w. Пусть теперь П - пучок параллельных прямых плоскости L2(см. рисунок). ![]() Обозначим через OA прямую пучка П, проходящую через точку касания O круга w с плоскостью L2, а через m - ось орисферы W, параллельную прямой OA. Введем в рассмотрение пучок плоскостей P(m) пространства L3, проходящих через прямую m. Плоскости пучка P(m) пересекают орисферу W по орициклам, проходящим через точку M, а плоскость L2 - по прямым пучка П (в пучке P(m) имеется только одна плоскость, не пересекающая плоскость L2,- это плоскость, параллельная L2). В то же время каждая прямая пучка П может быть получена в пересечении плоскости L2 с некоторой плоскостью из P(m). В пересечении с орисферой W плоскости пучка P(m) дают пучок орициклов с центром в точке M, граничной для круга w. Таким образом, пучок П параллельных прямых плоскости L2 проектируется прямыми связки Z в пучок дуг орициклов круга w, имеющих одну общую концевую точку на границе круга w. Возьмем, наконец, пучок расходящихся прямых Ф плоскости L2 и пусть прямая a - ось этого пучка (см. рисунок). ![]() Обозначим через б плоскость, проходящую через a и ортогональную L2, а через n - ось орисферы W, ортогональную б. Прямая n пересекает орисферу W в точке N, лежащей вне круга w. Пусть P(n) - пучок плоскостей в L3, проходящих через прямую n. Так как плоскости пучка P(n) ортогональны б, то каждую прямую пучка Ф можно получить как линию пересечения L2 с некоторой плоскостью пучка P(n). В то же время плоскости из P(n) пересекают W по орициклам, проходящим через точку N. Отсюда вытекает, что прямые пучка Ф проектируются прямыми связки Z в такие дуги орициклов на w, что их продолжения пересекаются в точке N, внешней для w. Покажем в заключение, что проекция оси a пучка Ф будет такой орициклической дугой в w, которая является полярой точки N относительно окружности g, граничной для w. Пусть поляра точки N относительно g пересекает g в точках T и Q. Если бы дуга KM некоторого орицикла, являющаяся проекцией оси a пучка Ф, не совпала бы с полярой N относительно g, то одна из точек - K или M - не совпала бы с T и Q. Пусть такой точкой будет K. Тогда дуга орицикла NK, лежащая в w, проектировалась бы на L2 в прямую пучка Ф, параллельную его оси a; это невозможно. Следовательно, точки K и M должны совпасть с точками T и Q, то есть орициклы TQ и KM и их дуги, содержащиеся в w, совпадают. Итак, проектирование плоскости Лобачевского L2 на касательную к ней орисферу W посредством прямых связки, соответствующей этой орисфере, приводит к тому, что:
|