Оглавление

Модель Пуанкаре на полуплоскости

Основные объекты

Аксиомы принадлежности

Аксиомы порядка

Сложное отношение

Аксиомы меры

Движения

Равенство фигур

Серединный перпендикуляр

Аксиома IV группы

Аксиома V группы

Аксиома Лобачевского

Многообразие моделей

Модель в пространстве

Замечание

Упражнения


Многообразие конформных моделей плоскости Лобачевского

Назад Вперед

    Описанную модель плоскости Лобачевского называют конформной, поскольку в ней неевклидовы движения сохраняют величины углов. Данная модель не является единственно возможной. Более того, для геометрии Лобачевского существует бесконечно много других конформных моделей, так как в силу теоремы Римана рассмотренную модель на полуплоскости можно отобразить конформно на любую односвязную область с границей, содержащей более одной точки. В этом многообразии моделей мы рассмотриваем еще лишь одну - круговую - также предложенную А.Пуанкаре.

    Связь моделей Лобачевского на полулоскости и в круге можно осуществить с помощью дробно-линейной функции:

    где z = x + iy, w = u + iv, которая отображает полуплоскость H2 на открытый круг

    На демонстрационном рисунке для наглядности круг B2 смещен на единицу вниз.

Назад Вперед