Оглавление

Модели Бельтрами и Кэли-Клейна

Модель в круге на орисфере

Пучки прямых на орисферическом круге

Модель Бельтрами

Модель Кэли-Клейна

Связь между моделями

Формула Лобачевского.
Лемма

Формула Лобачевского.
Теорема

Многомерное обобщение

Упражнения


Модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского

Назад Вперед

    Непосредственным обобщением модели Бельтрами является модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского, она может быть получена из модели Бельтрами с помощью проективного преобразования. Но мы для построения этой модели непосредственно используем проективную плоскость и элементы ее геометрии и покажем, как от модели Кэли-Клейна плоскости Лобачевского перейти к модели Бельтрами.

    Возьмем на проективной плоскости P2 невырожденную кривую второго порядка и обозначим ее через j. Будем считать, что на плоскости P2 фиксирована такая проективная система координат, относительно которой кривая j задана уравнением

    Обозначим через Г область плоскости P2, заданную относительно этой же системы координат неравенством

    область Г будем называть внутренней относительно j.

    Точки области Г назовем неевклидовыми точками, а части проективных прямых, содержащиеся в Г - неевклидовыми прямыми.

    Отношение принадлежности для неевклидовых точек и прямых в Г интерпретируется так, как это понимается для точек и прямых проективной плоскости.

    Для троек точек неевклидовых прямых отношение порядка может быть истолковано, как это будет видно из дальнейшего, в таком же смысле, как это принято в евклидовой геометрии. Поэтому имеют смысл понятия неевклидова отрезка, неевклидова луча, угла, полуплоскости и др.

    Пусть A, B - произвольные точки области Г, а C, D - точки пересечения проективной прямой AB с линией j. Неевклидовой длиной отрезка AB (неевклидовым расстоянием между точками A и B) называется число p(A, B) такое, что

    где (A, B, C, D) - сложное отношение точек A, B, C, D, а c - положительная константа.

    Средствами проективной геометрии можно установить, что сложное отношение (A, B, C, D) в рассматриваемом нами случае положительно, а длина отрезка, определяемая равенством выше, удовлетворяет требованиям аксиомы измерения отрезков.

    Обозначим через G(Г) совокупность всех таких проективных преобразований плоскости P2, которые кривую j переводят в себя. Такие преобразования называются проективными автоморфизмами плоскости P2 относительно кривой j. Преобразования из G(Г) принимаются в качестве неевклидовых движений области Г. Совокупность преобразований G(Г) относительно операции умножения преобразований образует группу.

    Для всякого неевклидова движения f области Г выполняются следующие свойства:
    1) f(Г) содержится в Г;
    2) f переводит неевклидовы прямые вновь в неевклидовы прямые;
    3) f сохраняет неевклидовы длины неевклидовых отрезков.

    Проверка выполнимости для Г требований аксиом геометрии Лобачевского, связанных с измерением отрезков и углов, может быть проведена как средствами проективной геометрии, так и с использованием связей Г с другими моделями плоскости Лобачевского, чему будет посвящен параграф о связи между различными моделями. На одном подходе к решению этих вопросов мы остановимся в следующем пункте этого параграфа.

    Рассмотрим аксиому Лобачевского. Пусть a - неевклидова прямая в Г, а A - неевклидова точка, не лежащая на прямой a. Возьмем произвольную точку M на проективной прямой, содержащей a, внешнюю по отношению к j или принадлежащую j (см. рисунок ниже).

    Тогда неевклидова прямая, лежащая на проективной прямой AM, проходит через A и не пересекает неевклидову прямую a. Таким образом, для Г выполняется требование аксиомы Лобачевского.

    Модель Г плоскости Лобачевского, описание которой мы рассмотрели, называется моделью Кэли-Клейна. А.Кэли разработал принципы введения метрики на проективной плоскости, а Ф.Клейн доказал изометричность модели Г и плоскости Лобачевского.

Назад Вперед