Оглавление

Геометрические образы в модели Пуанкаре

Перпендикуляр расходящихся прямых

Угол параллельности данного отрезка

Пучки прямых

Окружность

Эквидистанта

Орицикл

Замечание

Упражнения


Эквидистанта

Назад Вперед

    Рассмотрим теперь построение эквидистанты в H2, для которой данная неевклидова прямая a будет служить базой. Пусть прямая a изображается в H2 евклидовой полуокружностью с концами A1, A2 (см. рисунок ниже).

    Покажем, что всякая дуга d евклидовой окружности в H2 с концевыми точками A1 и A2 изображает в H2 эквидистанту с базой a. Для этого достаточно убедиться в том, что дуга d является ортогональной траекторией пучка расходящихся прямых с осью a. Действительно, если t – произвольная прямая этого пучка, то отражение f плоскости H2 относительно t меняет местами точки A1 и A2, оставляя точку M пересечения d и t на месте. Таким образом, d и f(d) содержат одну и ту же тройку точек – A1, A2 и M, но d и f(d) – дуги окружностей, поэтому f(d) = d. Полученное равенство, как известно, выполняется тогда и только тогда, когда дуга d и неевклидова прямая t ортогональны. Итак, дуга d изображает в H2 эквидистанту с базой a.

    Заметим, что для любой другой неевклидовой прямой KL, перпендикулярной a, неевклидовы отрезки KL и MN являются равными в смысле геометрии Лобачевского, это высоты эквидистанты d.

    Для случая, когда база a эквидистанты изображается в H2 евклидовым лучом, построение эквидистант приведено на рисунке ниже – это евклидовы лучи d, d' с тем же началом, что и a. Доказательство в этом случае тривиально.

Назад Вперед