Оглавление

Предисловие

Предисловие

Назад Вперед

    До XIX века евклидова геометрия представлялась единственно мыслимым учением о пространстве, считалось даже, что она совершенно точно отражает свойства физического пространства при предельном уточнении форм и отношений реальных тел. Открытие неевклидовой геометрии сокрушило эту точку зрения. К смелой идее о возможности геометрии, отличной от евклидовой, независимо друг от друга и почти одновременно пришли несколько человек: наш соотечественник, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792–1856), венгр Янош Бойяи (1802–1860), немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855). Н.И.Лобачевский был первым математиком в мире, провозгласившим новые идеи неевклидовой геометрии. Ему бесспорно принадлежит приоритет в открытии неевклидовой геометрии. В 1829 г. вышел в свет “Казанский Вестник” с сочинением Лобачевского “О началах геометрии”, содержащий обстоятельное изложение доклада, представленного Лобачевским Ученому совету физико–математического факультета Казанского университета 11(23) февраля 1826 года. Янош Бойяи опубликовал в 1832 г. на латинском языке произведение “Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности XI аксиомы Евклида...”. Эта работа являлась приложением к математическому трактату его отца Фаркаша Бойяи, и поэтому она сохранила в математической литературе название “Аппендикс”. В ней излагалась та же теория, что и у Лобачевского, но в значительно менее развитой форме. К.Ф.Гаусс вовсе не опубликовал ничего из полученных им результатов в этой области из боязни быть непонятым. Новизна идей и глубина полученных результатов наряду со сжатостью изложения работ Н.И.Лобачевского долгое время были серьезными препятствиями для понимания новой геометрической системы. Лишь благодаря исследованиям Бернгарда Римана, проведенным в середине XIX века, а также публикации после смерти Гаусса его переписки с некоторыми его друзьями–математиками, в которой содержались высокие оценки исследованиям Лобачевского и Бойяи, геометрия Лобачевского заслужила должное признание во всем мире.

    Геометрия Лобачевского, называемая еще гиперболической геометрией, представляет собой важнейший этап эволюции не только самой геометрии, но и всей математической науки. Работы Лобачевского привели к широким обобщениям в геометрии и их глубоким приложениям во многих областях математики, механики, физики, астрономии. Методы и различные ветви неевклидовой геометрии, развитые со времени ее открытия, многообразны и существенно отличаются одна от другой.

    Обычно в книгах, посвященных геометрии Лобачевского, рассматривается лишь одна из ее многочисленных моделей. В этой книге проведено достаточно детальное построение пяти наиболее известных моделей геометрии Лобачевского и рассмотрены геометрические и аналитические связи между ними. При этом, как известно, решаются следующие задачи:

    1. доказывается непротиворечивость систем аксиом геометрии Лобачевского;
    2. доказывается независимость аксиомы параллельных от других аксиом геометрии;
    3. дается наглядный смысл фактов геометрии Лобачевского в тех или иных реализациях с обогащением собственных теорий этих реализаций;
    4. представляется возможность модельного варианта построения геометрии Лобачевского (поскольку ее аксиоматика полна).

    От читателя не требуется обширных знаний по геометрии Лобачевского, но владение ее основами необходимо. В настоящее время уже в школьном учебнике геометрии (см., например, [3]) учащиеся знакомятся с идеями и некоторыми фактами этой геометрии. Более обстоятельно геометрию Лобачевского можно изучить по книгам [6], [7], [9], [11], [22], указанным в списке литературы.

Назад Вперед