Оглавление

Модели Бельтрами и Кэли-Клейна

Модель в круге на орисфере

Пучки прямых на орисферическом круге

Модель Бельтрами

Модель Кэли-Клейна

Связь между моделями

Формула Лобачевского.
Лемма

Формула Лобачевского.
Теорема

Многомерное обобщение

Упражнения


Модель Бельтрами плоскости Лобачевского

Назад Вперед

    Изучив проекцию плоскости Лобачевского на орисфере, мы можем построить модель этой плоскости на евклидовой плоскости E2. Так как внутренняя геометрия орисферы является евклидовой, то орисфера W может быть отображена изометрически на плоскость E2. Под действием такого отображения плоскость Лобачевского L2 перейдет в некоторый открытый круг D2 того же радиуса o, что и круг w. Прямым плоскости L2 будут соответствовать относительно этого отображения хорды круга D2, а пучкам прямых различных типов - пучки хорд круга D2, строение которых легко усматривается из рисунка ниже.

    Неевклидово расстояние между точками в D2 можно вычислять, применяя формулу, указанную для w при построении модели в круге на орисфере. Вводя в D2 вместо полярных координат прямоугольные декартовы координаты с началом в центре D2 и используя связи между полярными и декартовыми координатами

    получаем следующую формулу для неевклидова расстояния d между точками с декартовыми координатами x1, y1 и x2, y2 в D2:

    В пункте о связи между моделями Бельтрами и Кэли-Клейна мы покажем, что для случая круга единичного радиуса вычисление расстояния между точками может быть осуществлено как с помощью формулы выше, так и с помощью формулы

    где C, D - концы хорды в D2, содержащей точки A и B, а (A, B, C, D) - сложное отношение точек A, B, C, D.

    Полученная таким образом модель D2 плоскости Лобачевского называется моделью Бельтрами.

    Замечание. Имеются различные геометрические и аналитические подходы к построению модели Бельтрами плоскости Лобачевского. Очень простое описание этой модели получается, например, с привлечением модели Пуанкаре H3 трехмерного пространства Лобачевского. Зафиксируем в модели H3 орисферу W, оси которой являются в H3 евклидовыми лучами. Тогда изображением орисферы W в H3 служит, очевидно, евклидова плоскость, параллельная в смысле евклидовой геометрии граничной для H3 евклидовой плоскости (см. рисунок ниже).

    Орициклы, лежащие в W, изображаются евклидовыми прямыми, и расстояния, измеряемые в W как длины орисферических дуг, совпадают с длинами соответствующих евклидовых отрезков. Следовательно, евклидова плоскость изображает орисферу W изометрично.

    Пусть далее евклидова полусфера с центром на границе H3, взятая в качестве плоскости L2, касается орисферы W в некоторой точке. Образом плоскости L2 при проектировании на W посредством прямых связки Z является открытый евклидов круг D2. Неевклидовы прямые переходят при этом в хорды круга D2. Отсюда видно, что на этом пути мы действительно получаем более простую возможность построения модели Бельтрами плоскости Лобачевского.

Назад Вперед