Модель Пуанкаре на полуплоскости Серединный перпендикуляр |
Серединный перпендикулярДля рассмотрения аксиомы IV нам потребуется построение неевклидова
серединного перпендикуляра неевклидова отрезка.
Пусть MN – некоторый отрезок в H2,
для его расположения возможны следующие случаи: Рассмотрим подробно случай б). Обозначим через K точку пересечения оси x с евклидовой прямой MN, а через T – точку касания евклидовой прямой, проходящей через K, с неевклидовой прямой MN (см. рисунок ниже). ![]() Евклидова полуокружность a с центром K и радиусом KT является искомым перпендикуляром. Действительно, по теореме элементарной геометрии о произведении отрезков секущих к окружности имеем: KM * KN = KT2. Но по отношению к полуокружности a приведенное равенство означает, что точки M и N взаимно инверсны относительно a. Более того, инверсия относительно a переводит неевклидову прямую MN в себя, следовательно, неевклидовы отрезки TM и TN взаимно инверсны относительно a, то есть они являются равными. А поскольку неевклидова прямая MN перпендикулярна a, то a – искомый серединный перпендикуляр для MN. Построение серединных перпендикуляров отрезка MN для случаев а) и в) легко усматриваются из следующих двух рисунков. ![]() Попробуйте построить неевклидов серединный перпендикуляр самостоятельно. |