Оглавление

Система аксиом плоскости Лобачевского

Группы аксиом:
I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

Что такое модель?

Упражнение

Система аксиом плоскости Лобачевского

Назад Вперед

    Планиметрия Лобачевского строится на аксиоматике евклидовой геометрии с заменой аксиомы параллельности на аксиому Лобачевского: пусть a – произвольная прямая, а A – точка, не лежащая на этой прямой; тогда существует не менее двух прямых, проходящих через точку A и не пересекающих прямую a.

    В литературе, посвященной построению моделей геометрии Лобачевского, авторы применяют различные системы аксиом. Так, в книге Н.В.Ефимова “Высшая геометрия” ([9]) для этой цели привлечена аксиоматика Д.Гильберта. Другие системы аксиом взяты для решения этой задачи в учебных пособиях [2], [4], [7]. Мы в этой книге рассмотрим систему аксиом для плоскости Лобачевского, используя аксиоматику евклидовой геометрии, предложенную А.В.Погореловым. Изложение ведется в редакции, данной в учебном пособии [4].

    Основными объектами являются точки и прямые; также используется при этом множество действительных чисел.

    Множество всех точек обозначим через H2, оно называется плоскостью, множество всех прямых обозначим буквой F, а R – поле действительных чисел. Полагаем, что H2 и F – непустые множества.

    Множество H2 называется плоскостью Лобачевского, если указанные ниже основные отношения а – г подчиняются требованиям приведенных далее аксиом I – VI групп.

    Основными отношениями являются следующие четыре отношения:

    • а) принадлежность точки и прямой;
    • б) лежать между для трех точек одной прямой;
    • в) длина отрезка;
    • г) мера (градусная) угла.

    Рассматриваемая система аксиом состоит из девяти аксиом, разбитых на шесть групп.

Назад Вперед