Оглавление

Модели Бельтрами и Кэли-Клейна

Модель в круге на орисфере

Пучки прямых на орисферическом круге

Модель Бельтрами

Модель Кэли-Клейна

Связь между моделями

Формула Лобачевского.
Лемма

Формула Лобачевского.
Теорема

Многомерное обобщение

Упражнения


Изображение пучков неевклидовых прямых на орисферическом круге

Назад Вперед

    Как известно, пучки прямых плоскости Лобачевского подразделяются на три типа: центральный пучок - совокупность всех прямых плоскости, проходящих через одну и ту же точку; пучок параллельных прямых - совокупность всех прямых плоскости, параллельных данной прямой в заданном на ней направлении; пучок расходящихся прямых - совокупность всех прямых плоскости, перпендикулярных заданной прямой, называемой осью пучка.

    Ясно, что центральный пучок прямых плоскости L2 проектируется на w прямыми связки Z в пучок дуг орициклов, проходящих через одну и ту же точку, лежащую внутри круга w.

    Пусть теперь П - пучок параллельных прямых плоскости L2(см. рисунок).

    Обозначим через OA прямую пучка П, проходящую через точку касания O круга w с плоскостью L2, а через m - ось орисферы W, параллельную прямой OA. Введем в рассмотрение пучок плоскостей P(m) пространства L3, проходящих через прямую m. Плоскости пучка P(m) пересекают орисферу W по орициклам, проходящим через точку M, а плоскость L2 - по прямым пучка П (в пучке P(m) имеется только одна плоскость, не пересекающая плоскость L2,- это плоскость, параллельная L2). В то же время каждая прямая пучка П может быть получена в пересечении плоскости L2 с некоторой плоскостью из P(m). В пересечении с орисферой W плоскости пучка P(m) дают пучок орициклов с центром в точке M, граничной для круга w. Таким образом, пучок П параллельных прямых плоскости L2 проектируется прямыми связки Z в пучок дуг орициклов круга w, имеющих одну общую концевую точку на границе круга w.

    Возьмем, наконец, пучок расходящихся прямых Ф плоскости L2 и пусть прямая a - ось этого пучка (см. рисунок).

    Обозначим через б плоскость, проходящую через a и ортогональную L2, а через n - ось орисферы W, ортогональную б. Прямая n пересекает орисферу W в точке N, лежащей вне круга w. Пусть P(n) - пучок плоскостей в L3, проходящих через прямую n. Так как плоскости пучка P(n) ортогональны б, то каждую прямую пучка Ф можно получить как линию пересечения L2 с некоторой плоскостью пучка P(n). В то же время плоскости из P(n) пересекают W по орициклам, проходящим через точку N. Отсюда вытекает, что прямые пучка Ф проектируются прямыми связки Z в такие дуги орициклов на w, что их продолжения пересекаются в точке N, внешней для w.

    Покажем в заключение, что проекция оси a пучка Ф будет такой орициклической дугой в w, которая является полярой точки N относительно окружности g, граничной для w. Пусть поляра точки N относительно g пересекает g в точках T и Q. Если бы дуга KM некоторого орицикла, являющаяся проекцией оси a пучка Ф, не совпала бы с полярой N относительно g, то одна из точек - K или M - не совпала бы с T и Q. Пусть такой точкой будет K. Тогда дуга орицикла NK, лежащая в w, проектировалась бы на L2 в прямую пучка Ф, параллельную его оси a; это невозможно. Следовательно, точки K и M должны совпасть с точками T и Q, то есть орициклы TQ и KM и их дуги, содержащиеся в w, совпадают.

    Итак, проектирование плоскости Лобачевского L2 на касательную к ней орисферу W посредством прямых связки, соответствующей этой орисфере, приводит к тому, что:

  1. проекцией всей плоскости L2 является открытый круг w орисферы W;
  2. центральный пучок прямых плоскости L2 переходит при этом в центральный пучок орициклических дуг с центром во внутренней точке круга w;
  3. проекцией пучка параллельных прямых плоскости L2 является такой пучок орициклических дуг, который имеет единственную общую точку, лежащую на границе круга w;
  4. проекцией пучка расходящихся прямых плоскости L2 является такой пучок орициклических дуг круга w, что их продолжения пересекаются во внешней для круга w точке, а поляра этой точки относительно ограничивающей круг w окружности служит проекцией оси данного пучка расходящихся прямых.

Назад Вперед