Оглавление
Модель Пуанкаре на полуплоскости
Основные объекты
Аксиомы принадлежности
Аксиомы порядка
Сложное отношение
Аксиомы меры
Движения
Равенство фигур
Серединный перпендикуляр
Аксиома IV группы
Аксиома V группы
Аксиома Лобачевского
Многообразие моделей
Модель в пространстве
Замечание
Упражнения
|
Выполнимость требований аксиомы существования треугольника,
равного данному
Назад Вперед
Пусть ABC – неевклидов треугольник в H2,
p – луч с началом в A' и
– заданная полуплоскость, ограниченная неевклидовой прямой,
содержащей p (см. рисунок).
Построим серединный неевклидов перпендикуляр a
неевклидова отрезка AA'.
Отражение относительно a переводит треугольник ABC
в треугольник A'B1C1.
Пусть b – неевклидова биссектриса угла со сторонами
p и A'B1, тогда
отражение H2 относительно b
переведет треугольник A'B1C1
в треугольник A'B'C2,
где B' лежит на луче p.
Если точка C2 лежит в заданной полуплоскости ,
то построение закончено.
В противном случае рассмотрим отражение H2 относительно
неевклидовой прямой, содержащей луч p.
В результате получаем треугольник A'B'C',
удовлетворяющий требованиям аксиомы IV.
Действительно, A' – начало луча p,
B' лежит на p,
а C' принадлежит полуплоскости .
Поскольку неевклидов треугольник A'B'C' получен из
треугольника ABC с помощью композиции отражений,
то есть с помощью неевклидова движения,
то треугольники ABC и A'B'C' равны.
Таким образом, требования аксиомы IV в H2 выполнены.
Назад Вперед
|