Оглавление

Модель Пуанкаре на полуплоскости

Основные объекты

Аксиомы принадлежности

Аксиомы порядка

Сложное отношение

Аксиомы меры

Движения

Равенство фигур

Серединный перпендикуляр

Аксиома IV группы

Аксиома V группы

Аксиома Лобачевского

Многообразие моделей

Модель в пространстве

Замечание

Упражнения


Выполнимость требований аксиом меры для отрезков и углов

Назад Вперед

    Пусть L - множество всех (неевклидовых) отрезков в H2. Если u, v - две точки в H2, то через s и t обозначим точки, в которых неевклидова прямая uv опирается на ось x в случае, когда uv - полуокружность (надо помнить, что точки оси x не принадлежат H2!). Если неевклидова прямая uv является лучом, то через s обозначим начало этого луча, а t будет его бесконечно удаленной точкой.

    Покажем, что отображение

    можно определить посредством формулы

    (*)

    где c - некоторая положительная константа, фиксация которой равносильна выбору единичного отрезка PQ в H2. Рассмотрим сначала случай, когда прямая uv является полуокружностью, при этом числа s и t - действительные, будем считать, что s < t. Через r1 и r2 обозначим модули чисел u - s и u - t, через и - их аргументы. Поскольку евклидов угол sut - прямой, то

    поэтому

    где Поэтому

    В случае, когда неевклидова прямая uv изображается в H2 лучом, имеем

    Таким образом, (u, v, s, t) > 0, поэтому правая часть равенства (*) имеет смысл и для любого отрезка uv в H2 l(uv) > 0,
    то есть с помощью равенства (*) мы получаем отображение

    Покажем теперь, что отображение l обладает свойством аддитивности, то есть, что для любой точки w отрезка uv выполняется равенство

    Действительно, используя соотношения для сложного отношения, получаем, что

    причем как левая часть данного равенства, так и сомножители правой части этого соотношения положительны. Отсюда имеем, что

    Для завершения доказательства аддитивности остается убедиться в том, что слагаемые в правой части последнего соотношения имеют одинаковые знаки. Будем считать для определенности, что точки u, v, w расположены так, как указано на рисунке ниже.

    Обозначим через r1, r3, r5 модули комплексных чисел u - s, v - s и w - s, то есть это - евклидовы длины евклидовых хорд su, sv и sw соответственно, поэтому справедливы неравенства

    Аналогично, если r2, r4 и r6 - модули чисел u - t, v - t и w - t, то

    Вычисляя сложные отношения (u, w, s, t) и (w, v, s, t), получаем равенства

    в которых каждый из сомножителей в правых частях меньше единицы в силу приведенных неравенств для ri, i=1,...,6. Поэтому оба сложных отношения (u, w, s, t) и (w, v, s, t) принимают для рассмотренного случая значения, меньшие единицы. Для остальных случаев расположения точек u, v, w в H2 аналогично вышеизложенному можно показать, что сложные отношения (u, w, s, t) и (w, v, s, t) либо одновременно больше единицы, либо меньше единицы. Поэтому, вычисляя модули обеих частей полученного равенства для логарифмов, получим, что

    отсюда, наконец, учитывая формулу (*), приходим к равенству

    Аддитивность функции l установлена.

    Устремляя точку v по неевклидовой прямой uv к точке u, замечаем, что (u, v, s, t) будет стремиться к единице; если же устремлять v к t, то (u, v, s, t) будет стремиться к нулю. Отсюда следует, что в первом случае а во втором - В то же время l(uv) непрерывно зависит от u и v, следовательно, областью значения для l(uv) является весь интервал то есть все множество R+, а потому при фиксации константы c в формуле (*) найдется такая пара точек P, Q в H2, что значение l(PQ) будет равно единице. Таким образом, фиксируя в формуле (*) постоянную c заранее, мы приходим к выбору отрезка PQ в качестве масштабной единицы. Можно поступить иначе, объявив сначала масштабным некоторый отрезок P1Q1, взять затем значение константы c в формуле (*) так,
    чтобы получить равенство l(P1Q1) = 1.

    Итак, требования аксиомы III1 в H2 выполнены. Заметим, что значение функции l(uv), получаемое с помощью равенства (*), естественно называть также расстоянием между точками u и v.

    Обратимся теперь к аксиоме III2. Под градусной мерой ф(pq) неевклидова угла pq будем понимать евклидову градусную меру угла между касательными векторами к сторонам угла pq в его вершине. Ясно, что при таком истолковании градусной меры неевклидова угла требования аксиомы III2 выполнены.

Назад Вперед