Модель Пуанкаре на полуплоскости Аксиомы меры |
Выполнимость требований аксиом меры для отрезков и угловПусть L - множество всех (неевклидовых) отрезков в H2. Если u, v - две точки в H2, то через s и t обозначим точки, в которых неевклидова прямая uv опирается на ось x в случае, когда uv - полуокружность (надо помнить, что точки оси x не принадлежат H2!). Если неевклидова прямая uv является лучом, то через s обозначим начало этого луча, а t будет его бесконечно удаленной точкой. Покажем, что отображение ![]() можно определить посредством формулы
где c - некоторая положительная константа,
фиксация которой равносильна выбору единичного отрезка PQ
в H2.
Рассмотрим сначала случай, когда прямая uv
является полуокружностью, при этом числа s и t -
действительные, будем считать, что s < t.
Через r1 и r2
обозначим модули чисел u - s и
u - t,
через ![]() поэтому ![]()
![]() В случае, когда неевклидова прямая uv изображается в H2 лучом, имеем ![]() Таким образом, (u, v, s, t) > 0,
поэтому правая часть равенства (*) имеет смысл
и для любого отрезка uv в H2
l(uv) > 0, Покажем теперь, что отображение l обладает свойством аддитивности, то есть, что для любой точки w отрезка uv выполняется равенство ![]() Действительно, используя соотношения для сложного отношения, получаем, что ![]() причем как левая часть данного равенства, так и сомножители правой части этого соотношения положительны. Отсюда имеем, что ![]() Для завершения доказательства аддитивности остается убедиться в том, что слагаемые в правой части последнего соотношения имеют одинаковые знаки. Будем считать для определенности, что точки u, v, w расположены так, как указано на рисунке ниже. ![]() Обозначим через r1, r3, r5 модули комплексных чисел u - s, v - s и w - s, то есть это - евклидовы длины евклидовых хорд su, sv и sw соответственно, поэтому справедливы неравенства ![]() Аналогично, если r2, r4 и r6 - модули чисел u - t, v - t и w - t, то ![]() Вычисляя сложные отношения (u, w, s, t) и (w, v, s, t), получаем равенства ![]() в которых каждый из сомножителей в правых частях меньше единицы в силу приведенных неравенств для ri, i=1,...,6. Поэтому оба сложных отношения (u, w, s, t) и (w, v, s, t) принимают для рассмотренного случая значения, меньшие единицы. Для остальных случаев расположения точек u, v, w в H2 аналогично вышеизложенному можно показать, что сложные отношения (u, w, s, t) и (w, v, s, t) либо одновременно больше единицы, либо меньше единицы. Поэтому, вычисляя модули обеих частей полученного равенства для логарифмов, получим, что ![]() отсюда, наконец, учитывая формулу (*), приходим к равенству ![]() Аддитивность функции l установлена. Устремляя точку v по неевклидовой прямой uv
к точке u,
замечаем, что (u, v, s, t) будет стремиться
к единице; если же устремлять v к t,
то (u, v, s, t) будет стремиться к нулю.
Отсюда следует, что в первом случае
Итак, требования аксиомы III1 в H2 выполнены. Заметим, что значение функции l(uv), получаемое с помощью равенства (*), естественно называть также расстоянием между точками u и v. Обратимся теперь к аксиоме III2. Под градусной мерой ф(pq) неевклидова угла pq будем понимать евклидову градусную меру угла между касательными векторами к сторонам угла pq в его вершине. Ясно, что при таком истолковании градусной меры неевклидова угла требования аксиомы III2 выполнены. |