Площадь треугольника Длина окружности и площадь круга |
Площадь треугольникаДля вывода формулы площади треугольника на плоскости Лобачевского вновь обратимся к модели Пуанкаре H2 с метрической формой ![]() Пусть ABC - треугольник в H2, его площадь S(ABC) мы вычислим как разность площадей треугольников ABD и BCD, где D - бесконечно удаленная точка неевклидова луча AC (см. рисунок ниже). ![]() Найдем площадь треугольника ABD.
Меры углов A, B и C
треугольника ABC обозначим
Тогда ![]() Вместо треугольника ABD рассмотрим равный ему
в неевклидовом смысле треугольник ![]() где Q' - область плоскости параметров u, v, соответствующая области Q, а E, F, G - коэффициенты метрической формы поверхности. Для площади треугольника ![]() поскольку в нашем случае ![]() Учитывая расположение точек A1 и B1 и то, что их первые координаты равны
![]()
![]() Площадь треугольника BCD можно вычислить таким же образом, при этом ![]() Наконец, используя соотношения между углами треугольников ABC и BCD и равенство ![]() получаем искомую формулу для площади данного треугольника: ![]() Итак, из вышеизложенного вытекает Теорема. ![]() Следствие 1. Следствие 2.
![]() |