Оглавление

Модели Бельтрами и Кэли-Клейна

Модель в круге на орисфере

Пучки прямых на орисферическом круге

Модель Бельтрами

Модель Кэли-Клейна

Связь между моделями

Формула Лобачевского.
Лемма

Формула Лобачевского.
Теорема

Многомерное обобщение

Упражнения


Модели Бельтрами и Кэли-Клейна плоскости Лобачевского

Назад Вперед

    Еще Н.И.Лобачевским и Я.Бойяи было установлено, что внутренняя геометрия орисферы совпадает с геометрией евклидовой плоскости. Этот факт, как известно, был положен ими в основу вывода формул тригонометрии плоскости Лобачевского. Для этого треугольники плоскости Лобачевского, касающейся орисферы, проектируются на орисферу с помощью ее осей, и в обычную тригонометрическую формулу для криволинейного треугольника орисферы подставляются соотношения, связывающие элементы плоского треугольника с элементами криволинейного треугольника орисферы. Этот путь построения тригонометрии плоскости Лобачевского оказался наиболее простым.

    Примечательно, что идея использования геометрии орисферы позволяет также получить новые модели плоскости Лобачевского, отличные от моделей Пуанкаре. Модели Пуанкаре были построены в 1882 г. и не являлись исторически первыми. Итальянский геометр Эуджинио Бельтрами (1835-1900) в своей работе "Опыт интерпретации неевклидовой геометрии", опубликованной в 1868 г., показал, что внутренняя геометрия поверхностей постоянной отрицательной кривизны могла бы служить моделью планиметрии Лобачевского. Поверхности постоянной отрицательной кривизны исследовал еще в 30-е годы XIX в. Фердинанд Миндинг (1806-1885), работавший в Дерптском университете. В 1901 г. Давидом Гильбертом (1862-1943) было доказано, что в трехмерном евклидовом пространстве E3 не существует регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны, изометричной всей плоскости Лобачевского (см. [5]). На имеющихся же в E3 поверхностях постоянной отрицательной кривизны реализуется планиметрия не всей плоскости Лобачевского, а лишь некоторой ее части. Именно такой результат был получен Бельтрами. Исследования Бельтрами имеют большое принципиальное значение. Даже частичная реализация неевклидовой планиметрии в евклидовом пространстве изменила скептическое отношение геометров к работам Лобачевского. Поэтому открытия Бельтрами сыграли важную роль в общем развитии науки.

    В 1871 г. немецким математиком Феликсом Клейном (1849-1925) была построена модель плоскости Лобачевского с помощью проективной метрики, открытой английским математиком Артуром Кэли (1821-1895), эта модель называется моделью Кэли-Клейна плоскости Лобачевского.

    В этом параграфе будут построены две модели плоскости Лобачевского: модель Кэли-Клейна и модель, называемая моделью Бельтрами.

    Основное внимание при описании моделей Бельтрами и Кэли-Клейна в этом параграфе мы уделим фактам проективной природы, усматриваемым наиболее просто именно на этих моделях. Метрические вопросы имеют для моделей Бельтрами и Кэли-Клейна более сложное, чем в моделях Пуанкаре, истолкование, и мы рассмотрим некоторые подходы к их решению.

Назад Вперед