Оглавление
Модели Бельтрами и Кэли-Клейна
Модель в круге на орисфере
Пучки прямых на орисферическом круге
Модель Бельтрами
Модель Кэли-Клейна
Связь между моделями
Формула Лобачевского. Лемма
Формула Лобачевского. Теорема
Многомерное обобщение
Упражнения
|
Упражнения
Назад Вперед
- Докажите, что неевклидовы прямые на проективной модели Кэли-Клейна
плоскости Лобачевского перпендикулярны тогда и только тогда,
когда они изображаются хордами, лежащими на проективных прямых,
каждая из которых проходит через полюс другой.
- Постройте общий перпендикуляр двух расходящихся прямых
в проективной модели Кэли-Клейна.
- Докажите свойства проективных автоморфизмов,
указанные в пункте о модели Кэли-Клейна.
- Убедитесь в том, что отображения,
заданные соотношениями
из пункта о связи между моделями,
переводят неевклидовы прямые вновь в неевклидовы прямые моделей
Бельтрами и Кэли-Клейна в круге Г.
- Докажите корректность меры угла,
определенной для моделей Бельтрами и Кэли-Клейна в круге равенством (11).
- Покажите, что мера угла, определенная для моделей Бельтрами и Кэли-Клейна
в круге равенством (11), удовлетворяет требованиям аксиомы измерения углов.
- Покажите, что модели Бельтрами и Кэли-Клейна
являются неограниченными относительно расстояний,
определенных для этих моделей.
- Покажите, что для моделей Бельтрами и Кэли-Клейна в круге меры углов
с точки зрения евклидовой и неевклидовой геометрий совпадают,
если вершина угла находится в центре модели.
Верно ли это для других случаев?
- Докажите, что в моделях Бельтрами и Кэли-Клейна
неевклидова окружность представляет собой евклидову окружность или эллипс.
- Докажите с помощью модели Кэли-Клейна в круге теорему Пифагора
для плоскости Лобачевского:
ch c = ch a * ch b,
где a, b, c - неевклидовы длины катетов и гипотенузы
прямоугольного треугольника.
Назад Вперед
|