Оглавление

Модели Бельтрами и Кэли-Клейна

Модель в круге на орисфере

Пучки прямых на орисферическом круге

Модель Бельтрами

Модель Кэли-Клейна

Связь между моделями

Формула Лобачевского.
Лемма

Формула Лобачевского.
Теорема

Многомерное обобщение

Упражнения


Упражнения

Назад Вперед

  1. Докажите, что неевклидовы прямые на проективной модели Кэли-Клейна плоскости Лобачевского перпендикулярны тогда и только тогда, когда они изображаются хордами, лежащими на проективных прямых, каждая из которых проходит через полюс другой.
  2. Постройте общий перпендикуляр двух расходящихся прямых в проективной модели Кэли-Клейна.
  3. Докажите свойства проективных автоморфизмов, указанные в пункте о модели Кэли-Клейна.
  4. Убедитесь в том, что отображения, заданные соотношениями из пункта о связи между моделями, переводят неевклидовы прямые вновь в неевклидовы прямые моделей Бельтрами и Кэли-Клейна в круге Г.
  5. Докажите корректность меры угла, определенной для моделей Бельтрами и Кэли-Клейна в круге равенством (11).
  6. Покажите, что мера угла, определенная для моделей Бельтрами и Кэли-Клейна в круге равенством (11), удовлетворяет требованиям аксиомы измерения углов.
  7. Покажите, что модели Бельтрами и Кэли-Клейна являются неограниченными относительно расстояний, определенных для этих моделей.
  8. Покажите, что для моделей Бельтрами и Кэли-Клейна в круге меры углов с точки зрения евклидовой и неевклидовой геометрий совпадают, если вершина угла находится в центре модели. Верно ли это для других случаев?
  9. Докажите, что в моделях Бельтрами и Кэли-Клейна неевклидова окружность представляет собой евклидову окружность или эллипс.
  10. Докажите с помощью модели Кэли-Клейна в круге теорему Пифагора для плоскости Лобачевского: ch c = ch a * ch b,
    где a, b, c - неевклидовы длины катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника.

Назад Вперед