Оглавление

Примеры применения моделей

Теорема Пифагора

Замечание к теореме Пифагора

Площадь треугольника

Длина окружности и площадь круга

Замечание


Площадь треугольника

Назад Вперед

    Для вывода формулы площади треугольника на плоскости Лобачевского вновь обратимся к модели Пуанкаре H2 с метрической формой

    Пусть ABC - треугольник в H2, его площадь S(ABC) мы вычислим как разность площадей треугольников ABD и BCD, где D - бесконечно удаленная точка неевклидова луча AC (см. рисунок ниже).

    Найдем площадь треугольника ABD. Меры углов A, B и C треугольника ABC обозначим
    через и   соответственно,
    через меру  угла B в
    треугольнике  ABD,      
    а через и   меры углов B и C в
    треугольнике  BCD.      

    Тогда

    Вместо треугольника ABD рассмотрим равный ему в неевклидовом смысле треугольник вершины A1 и B1 которого лежат на дуге евклидовой окружности единичного радиуса с центром в начале координат, а третья вершина, обозначенная значком является бесконечно удаленной. Вычисление площади проведем с помощью формулы, доказываемой в курсе дифференциальной геометрии,

    где Q' - область плоскости параметров u, v, соответствующая области Q, а E, F, G - коэффициенты метрической формы поверхности.

    Для площади треугольника , таким образом, имеем

    поскольку в нашем случае

    Учитывая расположение точек A1 и B1 и то, что их первые координаты равны
    соответственно   и   получаем

    Так как треугольники  ABD  и   равны, то

    Площадь треугольника BCD можно вычислить таким же образом, при этом

    Наконец, используя соотношения между углами треугольников ABC и BCD и равенство

    получаем искомую формулу для площади данного треугольника:

    Итак, из вышеизложенного вытекает

    Теорема.
    Для площади треугольника ABC с углами
    справедлива формула

    Следствие 1.
    Площадь треугольника плоскости Лобачевского ограничена.

    Следствие 2.
    Если дан выпуклый многоугольник   
    с внутренними углами
    то  

Назад Вперед