Оглавление

Модель Пуанкаре на полуплоскости

Основные объекты

Аксиомы принадлежности

Аксиомы порядка

Сложное отношение

Аксиомы меры

Движения

Равенство фигур

Серединный перпендикуляр

Аксиома IV группы

Аксиома V группы

Аксиома Лобачевского

Многообразие моделей

Модель в пространстве

Замечание

Упражнения


Определение движений

Назад Вперед

    Дальнейшие построения требуют введения преобразований, выполняющих роль движений плоскости H2, то есть преобразований, не изменяющих расстояний между точками, измеряемых с помощью формулы (*). Оказывается, что движениями плоскости H2 в указанном смысле являются инверсии относительно полуокружностей, принятых в качестве прямых в H2, евклидовы симметрии относительно евклидовых лучей, ортогональных границе H2, а также композиции некоторого числа тех и других преобразований. Более того, в дальнейшем будет доказано, что указанными преобразованиями исчерпываются все движения плоскости H2.

    Следующая демонстрация иллюстрирует указанные выше движения.

    Отметим некоторые понятия и факты теории указанных преобразований.

    Пусть на евклидовой плоскости дана окружность S с центром в некоторой точке A и радиусом r (см. рисунок ниже). Инверсией плоскости относительно окружности S называется такое отображение, при котором произвольная точка M, отличная от A, отображается в точку M' такую, что:
    1)M' лежит на луче AM;
    2)AM*AM'=r2.

    Точку M' мы будем называть в этом случае инверсной точке M. Очевидно, что точка M является инверсной для точки M', то есть точки M и M' – взаимно инверсны относительно окружности S (построение показано на рисунке).

    Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат и сопоставим каждой точке M плоскости комплексное число

    где x и y - координаты точки M. Как всегда, черта сверху обозначает число, комплексно сопряженное данному:

    Задание любого из чисел или однозначно определяет точку M.

    Для взаимно инверсных точек M и M', определенных числами z и z', выполняется в случае совпадения центра окружности S с началом координат следующее соотношение:

    Отсюда получаем аналитическое задание инверсии:

    или покоординатно:

    Используя последние соотношения, легко показать, что под действием инверсии прямые и окружности переводятся вновь в прямые и окружности. При этом во избежание недоразумений нужно дополнить евклидову плоскость бесконечно удаленной точкой.

    Пусть теперь центр координатной системы не совпадает с центром A окружности S и точке A соответствует комплексное число a. Комбинируя формулу для инверсии с соотношением z = z' + a, соответствующим преобразованию координатной системы - переносу центра системы в точку A, получаем для аналитического задания инверсии относительно окружности A равенство

    Поскольку мы будем рассматривать случай, когда центр окружности S лежит на оси x, комплексное число a имеет нулевую мнимую часть, поэтому аналитическое задание инверсии относительно такой окружности можно записать в виде

    (**)

    Как уже отмечалось, наряду с инверсиями мы будем использовать евклидовы симметрии H2 относительно евклидовых лучей, ортогональных оси x и имеющих начало в точках этой оси. Если d - такой луч и его начало имеет координаты (x0, 0), то евклидова симметрия относительно d допускает задание в комплексной форме формулой

    (***)

    Действительно, мнимые части чисел z и z' одинаковы, а евклидова середина евклидова отрезка zz' принадлежит, как легко видеть, лучу d, а это и означает, что последнее равенство (***) задает указанную симметрию H2 относительно луча d.

    Описанные выше инверсии H2 относительно полуокружностей с центрами на оси d и симметрии относительно указанных лучей будем называть далее отражениями плоскости H2. Заметим, что всякое отражение переводит точки из H2 в точки, вновь лежащие в H2, причем образом плоскости H2 является вся эта плоскость. Движением плоскости H2 называется всякое преобразование H2, не изменяющее расстояний между точками, измеряемых посредством формулы (*).

    Справедлива следующая
    Теорема. Композиция некоторого числа отражений плоскости H2 является движением H2, которое неевклидовы прямые переводит вновь в неевклидовы прямые и сохраняет углы между кривыми в H2, то есть является конформным преобразованием плоскости H2.

    Доказательство. Обозначим композицию некоторого числа отражений плоскости H2 через g. Так как каждое отражение, с помощью которого задано g, является конформным преобразованием H2, переводящим неевклидовы прямые вновь в неевклидовы прямые, то такими же свойствами будет обладать и g.

    Для доказательства того факта, что g - движение H2, достаточно установить, учитывая способ вычисления расстояния в H2 посредством формулы (*), что каждое отражение H2 сохраняет сложное отношение четырех точек. Пусть f - отражение H2, заданное равенством (**), а точки u, v, s, t переходят под действием f в точки u', v', s', t', причем все точки в каждой четверке - обыкновенные. Тогда с помощью равенства (**) получаем, что

    поэтому

    Предположим теперь, что точки u, v, s, t - обыкновенные, а одна из точек u', v', s', t', например, t' - бесконечно удаленная. Так как
    то

    но

    следовательно, t = a. Тогда

    Случаи, когда в рассматриваемых четверках есть другие бесконечно удаленные точки, рассматриваются аналогично и дают такой же результат, а именно: Этот вывод справедлив и для отражений H2, заданных равенством (***). Таким образом, для всякого отражения H2 выполняется равенство Но сложное отношение четырех точек в интересующих нас случаях, как показано в предыдущем пункте, положительно, поэтому и, следовательно,

    Тем самым, отражения H2 и их композиции являются движениями плоскости H2. Теорема доказана.

Назад Вперед