Модели Бельтрами и Кэли-Клейна Модель в круге на орисфере Пучки прямых на орисферическом круге |
Модель плоскости Лобачевского в круге на орисфереОбозначим через W орисферу в трехмерном пространстве Лобачевского L3, а через L2 - плоскость в L3, касающуюся орисферы W в точке O. ![]() Пусть далее Z - связка параллельных прямых и плоскостей в пространстве L3, соответствующая орисфере W. Посредством прямых связки Z плоскость L2 проектируется на открытый круг w орисферы W, а прямые плоскости L2 - в дуги орициклов, содержащиеся в w, при этом концы таких дуг являются граничными точками круга w. Если OB - орициклическая дуга в w, где B - точка пересечения орисферы W и ее оси b, параллельной L2, то длина дуги OB, равная o, является радиусом круга w на орисфере W. Перейдем теперь непосредственно к построению модели плоскости Лобачевского сначала в круге w орисферы W, а затем и на евклидовой плоскости. Назовем неевклидовыми точками точки открытого круга w, неевклидовыми прямыми - части дуг орициклов, содержащиеся в w. Отношение принадлежности для точек и прямых и отношение порядка для троек точек, принадлежащих прямым, будем понимать на w как на части орисферы w, внутренняя геометрия которой, как известно, является евклидовой. Такая интерпретация указанных отношений обеспечивает, очевидно, выполнимость для w требований соответствующих аксиом геометрии Лобачевского. Неевклидово измерение отрезков в w может быть введено следующим образом. Возьмем точки A и B на плоскости L2 (см. рисунок ниже), пусть они проектируются в точки A', B' на w. ![]() Обозначим длины отрезков AB, OA и OB плоскости L2 через d, r1 и r2 соответственно, длины орициклических дуг OA' и OB' на w - через р1 и р2, а через ф - меру угла AOB. Длины прямолинейных отрезков и орициклических дуг r1, р1 и r2, р2, расположенных так, как это имеет место на рисунке выше, связаны, как известно (см., например, [22]), соотношениями ![]() где o - радиус круга w, k - радиус кривизны плоскости L2. Используя теорему косинусов тригонометрии плоскости Лобачевского для треугольника OAB ![]() и тождества ![]() для гиперболических функций, получаем, что ![]() Таким образом, если считать, что в w введена полярная система координат с полюсом в точке O, то последняя формула выражает неевклидову длину d неевклидова отрезка A'B'. Непросто для w решается и вопрос о неевклидовом мероопределении углов. Один способ его введения отмечается в пункте о связи между моделями Бельтрами и Кэли-Клейна этого параграфа, а способ, основанный на дифференциально-геометрическом подходе, может быть реализован с привлечением результатов, которые будут получены в параграфе о связи между различными моделями. Также не будем останавливаться здесь на проверке выполнимости для w требований аксиом геометрии Лобачевского, связанных с измерением отрезков и углов, так как это потребовало бы привлечения сложных технических деталей. Перейдем к наиболее интересной для нас аксиоме Лобачевского. Пусть a - неевклидова прямая в w, а A - точка в w, не лежащая на прямой a (см. рисунок ниже). Обозначим через x плоскость связки Z, в которой лежит неевклидова прямая a, через l и q - оси орисферы W, лежащие в плоскости x и не пересекающие круг w. Тогда плоскости y и z, содержащие точку A и прямые l и q соответственно, принадлежат связке Z и пересекают круг w по неевклидовым прямым c и d. Так как c и d не пересекают неевклидову прямую a, то для w выполняется аксиома Лобачевского. ![]() Таким образом, модель плоскости Лобачевского в орисферическом круге w построена. |