Оглавление

Модели Бельтрами и Кэли-Клейна

Модель в круге на орисфере

Пучки прямых на орисферическом круге

Модель Бельтрами

Модель Кэли-Клейна

Связь между моделями

Формула Лобачевского.
Лемма

Формула Лобачевского.
Теорема

Многомерное обобщение

Упражнения


Связь между моделями Бельтрами и Кэли-Клейна

Назад Вперед

    В предыдущем пункте этого параграфа отмечалось, что от модели Бельтрами плоскости Лобачевского можно перейти к модели Кэли-Клейна, подвергая модель Бельтрами некоторому проективному преобразованию. Содержание предыдущих пунктов убедительно подтверждает это. В этом пункте мы рассмотрим обратный переход от проективной модели Кэли-Клейна плоскости Лобачевского к модели Бельтрами в круге евклидовой плоскости.

    Пусть на проективной плоскости P2 введена проективная система координат и выполнены все построения предыдущего пункта. Рассмотрим на P2 проективную прямую i, заданную уравнением

    Так как система уравнений

    имеет только нулевое решение, а в P2 нет точек, у которых все проективные координаты нулевые, то i и j так же, как и i и Г, не имеет общих точек. Поэтому, удаляя прямую i из P2, мы не затрагиваем ни Г, ни i. Как известно, множество P2\i можно рассматривать как евклидову плоскость, координаты x, y которой связаны с проективными координатами в P2\i соотношениями

    После исключения прямой i из плоскости P2 кривая j будет задана уравнением

    а область Г - неравенством

    Таким образом, область Г в результате удаления из плоскости P2 прямой j превращается в открытый круг единичного радиуса. Неевклидовы прямые являются при этом хордами круга Г. Именно по этой причине мы не занимались в предыдущем пункте проверкой выполнимости для Г требований аксиом принадлежности и порядка, так как теперь для Г это является очевидным фактом в силу того, что на Г такие требования выполняются как на части евклидовой плоскости.

    Для вычисления расстояния между точками круга Г остается формула, но в случае, когда точки A, B, C и D заданы координатами
    (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) и (x4,y4)
    соответственно, то для вычисления сложного отношения этих точек известны (см. [4]) следующие формулы

    Одно из этих соотношений теряет смысл, если данные точки лежат на неевклидовой прямой, параллельной в смысле евклидовой геометрии одной из координатных осей. Используя соотношения выше, достаточно просто доказать выполнимость требований аксиомы измерения отрезков, которое осуществляется с помощью формулы для Г и с помощью такой же формулы для модели Бельтрами.

    Итак, удаление проективной прямой i из плоскости P2 превращает модель Кэли-Клейна в модель Бельтрами плоскости Лобачевского, и дальнейшие построения можно считать выполненными одновременно для обеих моделей.

    Непосредственные вычисления показывают, что преобразования вида

    и

    а также композиции некоторого числа таких преобразований являются движениями для моделей Бельтрами и Кэли-Клейна. Доказательство этого факта мы проведем только для случая преобразования последнего вида, так как в первом случае оно достаточно очевидно. Предварительно заметим, что оба преобразования отображают внутренние точки круга Г во внутренние точки этого же круга, граничные точки этого круга - в граничные точки, а его хорды - вновь в хорды этого круга (докажите это!).

    Пусть теперь A', B', C', D' - образы точек A, B, C, D относительно данного преобразования. Координаты точек A', B', C', D' обозначим через
    (x'1,y'1), (x'2,y'2), (x'3,y'3), (x'4,y'4)
    соответственно.

    Разрешая равенства относительно x, y, получаем

    С помощью этой системы легко убедиться в том, что вторые координаты точек A', B', C', D' различны тогда и только тогда, когда таковыми будут вторые координаты точек A, B, C, D. Для этого случая из (*) находим:

    откуда

    В случае, когда у точек A', B', C', D' и A, B, C, D вторые координаты совпали, то есть
    y'm=y', yn=y,  m,n=1, 2, 3, 4,
    получаем с помощью (*), что

    Поэтому

    Таким образом, используя формулу для вычисления расстояния между точками в Г и соотношения (**), (***), приходим к равенству

    Тем самым, данные отображения и их композиции действительно являются движениями для моделей Бельтрами и Кэли-Клейна в круге Г при вычислении расстояния между точками посредством упомянутой выше формулы.

    Теперь мы покажем, что формулы, указанные в пункте о модели Бельтрами, для вычисления расстояния в моделях Бельтрами и Кэли-Клейна в круге Г единичного радиуса эквивалентны. Для этого мы используем следующий прием: сначала доказывается совпадение результатов вычисления расстояний с помощью этих формул для специального расположения точек, в которое можно перевести любые две точки модели Г посредством приведенных отображений, а затем устанавливается, что эти отображения служат неевклидовыми движениями как для одной формулы расстояния, так и для другой.

    Итак, пусть A и B - две произвольные точки в Г. С помощью неевклидова движения можно добиться того, чтобы точка A совпала с центром O круга Г, а B принадлежала положительному лучу оси Ox. Тогда координаты A и B будут равны соответственно (0, 0) и (x, 0). Пусть C и D - точки с координатами (-1, 0) и (1, 0), тогда, используя формулу, указанную в пункте о модели Бельтрами, получим, что

    Приступим к вычислению расстояния между A и B с помощью второй формулы, в которой o=1:

    Так как

    то для A = (0, 0) и B = (x, 0) имеем после несложных вычислений, что

    Таким образом, обе формулы дают для точек A = (0, 0) и B = (x, 0) одинаковые результаты.

    Для завершения доказательства эквивалентности обеих формул остается показать, что преведенные выше отображения являются неевклидовыми движениями по отношению к этим формулам вычисления расстояния. Для случая формулы, использующей сложное отношение точек и совпадающей с формулой из предыдущего пункта (при надлежащем выборе константы c для последней), это сделано при установлении того факта, что данные преобразования являются неевклидовыми движениями Г. Рассмотрим этот вопрос для другой формулы применительно к отображению, заданному системой второго типа, так как для случая отображения первого типа этот факт очевиден.

    Используя (*), получаем

    а это и означает, что данное отображение является движением Г по отношению к способу измерения расстояния, определяемого в Г рассматриваемой формулой. Доказательство эквивалентности формул измерения расстояния между точками для моделей Бельтрами и Кэли-Клейна в единичном круге завершено.

    Определим градусную меру для углов в этих моделях. Рассмотрим угол с вершиной в центре круга и сторонами, заданными уравнениями

    Градусной мерой такого угла назовем число ф такое, что

    где

    Для угла произвольного расположения под его мерой понимается мера его образа относительно некоторого неевклидова движения, переводящего вершину данного угла в центр круга, а стороны - в полуплоскость x > 0.

    Можно убедиться в корректности данного определения и показать, что введенное таким образом понятие меры удовлетворяет требованиям аксиомы измерения углов. После этого проверка выполнимости требований оставшихся аксиом геометрии Лобачевского не представляет никаких трудностей. Отметим, что модели Бельтрами и Кэли-Клейна плоскости Лобачевского интересны в том отношении, что они позволяют все соотношения геометрии Лобачевского выразить в терминах и фактах проективной геометрии.

Назад Вперед