Оглавление

Примеры применения моделей

Теорема Пифагора

Замечание к теореме Пифагора

Площадь треугольника

Длина окружности и площадь круга

Замечание


Теорема Пифагора

Назад Вперед

    Теорема. Для всякого прямоугольного треугольника плоскости Лобачевского выполняется равенство

    ch c = ch a * ch b,

    где a, b - длины катетов, c - длина гипотенузы этого треугольника.

    Доказательство. Воспользуемся моделью Пуанкаре H2 плоскости Лобачевского на евклидовой полуплоскости. Будем считать (см. рисунок ниже), что вершинам A, B, C данного прямоугольного треугольника соответствуют комплексные числа

    где

    так как этого всегда можно добиться с помощью некоторого неевклидова движения.

    Используя формулу

    для вычисления неевклидова расстояния между точками z и w в H2, получаем, что

    Почленное перемножение двух первых соотношений и приводит, как показывает третье соотношение, к завершению доказательства теоремы.

Назад Вперед