Модели Бельтрами и Кэли-Клейна Пучки прямых на орисферическом круге Модель Бельтрами |
Модель Бельтрами плоскости ЛобачевскогоИзучив проекцию плоскости Лобачевского на орисфере, мы можем построить модель этой плоскости на евклидовой плоскости E2. Так как внутренняя геометрия орисферы является евклидовой, то орисфера W может быть отображена изометрически на плоскость E2. Под действием такого отображения плоскость Лобачевского L2 перейдет в некоторый открытый круг D2 того же радиуса o, что и круг w. Прямым плоскости L2 будут соответствовать относительно этого отображения хорды круга D2, а пучкам прямых различных типов - пучки хорд круга D2, строение которых легко усматривается из рисунка ниже. ![]() Неевклидово расстояние между точками в D2 можно вычислять, применяя формулу, указанную для w при построении модели в круге на орисфере. Вводя в D2 вместо полярных координат прямоугольные декартовы координаты с началом в центре D2 и используя связи между полярными и декартовыми координатами получаем следующую формулу для неевклидова расстояния d между точками с декартовыми координатами x1, y1 и x2, y2 в D2: В пункте о связи между моделями Бельтрами и Кэли-Клейна мы покажем, что для случая круга единичного радиуса вычисление расстояния между точками может быть осуществлено как с помощью формулы выше, так и с помощью формулы где C, D - концы хорды в D2, содержащей точки A и B, а (A, B, C, D) - сложное отношение точек A, B, C, D. Полученная таким образом модель D2 плоскости Лобачевского называется моделью Бельтрами. Замечание. Имеются различные геометрические и аналитические подходы к построению модели Бельтрами плоскости Лобачевского. Очень простое описание этой модели получается, например, с привлечением модели Пуанкаре H3 трехмерного пространства Лобачевского. Зафиксируем в модели H3 орисферу W, оси которой являются в H3 евклидовыми лучами. Тогда изображением орисферы W в H3 служит, очевидно, евклидова плоскость, параллельная в смысле евклидовой геометрии граничной для H3 евклидовой плоскости (см. рисунок ниже). Орициклы, лежащие в W, изображаются евклидовыми прямыми, и расстояния, измеряемые в W как длины орисферических дуг, совпадают с длинами соответствующих евклидовых отрезков. Следовательно, евклидова плоскость изображает орисферу W изометрично. Пусть далее евклидова полусфера с центром на границе H3, взятая в качестве плоскости L2, касается орисферы W в некоторой точке. Образом плоскости L2 при проектировании на W посредством прямых связки Z является открытый евклидов круг D2. Неевклидовы прямые переходят при этом в хорды круга D2. Отсюда видно, что на этом пути мы действительно получаем более простую возможность построения модели Бельтрами плоскости Лобачевского. |