Оглавление

Модель Пуанкаре в круге

Основные объекты

Аксиомы принадлежности

Сложное отношение

Аксиомы меры

Аксиома Лобачевского


Выполнимость требований аксиом меры для отрезков и углов

Назад Вперед

    Пусть L - множество всех (неевклидовых) отрезков в B2. Если u, v - две точки в B2, то через s и t обозначим точки, в которых неевклидова прямая uv опирается на границу круга B2 (надо помнить, что точки границы не принадлежат открытому кругу B2!).

    Отображение

    можно определить посредством формулы

    (*)

    где c - некоторая положительная константа, фиксация которой равносильна выбору единичного отрезка PQ в B2.

    Отображение l обладает свойством аддитивности, то есть, что для любой точки w отрезка uv выполняется равенство

    Требования аксиомы III1 в B2 выполнены. Заметим, что значение функции l(uv), получаемое с помощью равенства (*), естественно называть также расстоянием между точками u и v.

    Следующая демонстрация позволяет вычислить неевклидово расстояние между любыми точками u и v из B2 и иллюстрирует свойство аддитивности функции l.

    Обратимся теперь к аксиоме III2. Под градусной мерой ф(pq) неевклидова угла pq будем понимать евклидову градусную меру угла между касательными векторами к сторонам угла pq в его вершине. Ясно, что при таком истолковании градусной меры неевклидова угла требования аксиомы III2 выполнены.

Назад Вперед