Оглавление

Модель Пуанкаре на полуплоскости

Основные объекты

Аксиомы принадлежности

Аксиомы порядка

Сложное отношение

Аксиомы меры

Движения

Равенство фигур

Серединный перпендикуляр

Аксиома IV группы

Аксиома V группы

Аксиома Лобачевского

Многообразие моделей

Модель в пространстве

Замечание

Упражнения


Серединный перпендикуляр

Назад Вперед

    Для рассмотрения аксиомы IV нам потребуется построение неевклидова серединного перпендикуляра неевклидова отрезка. Пусть MN – некоторый отрезок в H2, для его расположения возможны следующие случаи:
    а) евклидова прямая MN параллельна оси x;
    б) евклидова прямая MN пересекает ось x под некоторым углом;
    в) евклидова прямая MN перпендикулярна оси x.

    Рассмотрим подробно случай б). Обозначим через K точку пересечения оси x с евклидовой прямой MN, а через T – точку касания евклидовой прямой, проходящей через K, с неевклидовой прямой MN (см. рисунок ниже).

    Евклидова полуокружность a с центром K и радиусом KT является искомым перпендикуляром. Действительно, по теореме элементарной геометрии о произведении отрезков секущих к окружности имеем: KM * KN = KT2. Но по отношению к полуокружности a приведенное равенство означает, что точки M и N взаимно инверсны относительно a. Более того, инверсия относительно a переводит неевклидову прямую MN в себя, следовательно, неевклидовы отрезки TM и TN взаимно инверсны относительно a, то есть они являются равными. А поскольку неевклидова прямая MN перпендикулярна a, то a – искомый серединный перпендикуляр для MN.

    Построение серединных перпендикуляров отрезка MN для случаев а) и в) легко усматриваются из следующих двух рисунков.

    Попробуйте построить неевклидов серединный перпендикуляр самостоятельно.

Назад Вперед